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일찍이 Arnott and Lewis(1979)는 이윤극대화 모형을 통해 전면 개발방식의 도시용 토지개발 과정에서 최적 개발시점은 개발 후 임대수익과 개발비용의 현재가치의 차이가 최대가 될 때 결정됨을 이론화한 바 있다. 이를 주택개발의 경우에 적용하면 시간의 흐름에 따라 주택의 단위면적당 임대료(R)가 매년 일정 비율(r)로 증가할 때 주어진 단위면적당 건설공사비(C)와 할인률(i)에서 현재가치(PV)를 최대화하는 동태적 이윤극대화 모형은 식 (1)과 같이 나타낼 수 있다.

식 (1)에서 개발시점에 대해 최적화한 1계조건(F.O.C: First Order Condition)을 살펴보면 개발을 1년 연기할 때 한계비용(marginal cost)은 그동안 포기하는 임대수익(R₀e^rt*)이고, 한계수입(marginal revenue)은 그동안 건설공사비를 다른 대안에 투자하여 얻을 수 있는 수익(iC)으로, 최적 개발시점(t^*)은 한계비용과 한계수입이 동일해지는 시점에서 결정된다. 이 때 시간의 흐름에 따라 주택 임대료가 상승할 것(r>0)이라는 예상 때문에 임대수익이 일정 수준에 이를 때까지 개발시점을 연기할 수 있고, 또한 그 이후에도 지속적으로 상승할 것이라는 예상 때문에 임대수익의 포기분이 너무 커지지 않도록 개발에 착수해야 한다는 논리가 성립됨에 유의할 필요가 있다. 따라서 예상과 달리 만약 임대료가 하락한다면 개발사업을 무기한 연기해야 하는 상황이 발생하게 된다.

이에 비해 최막중·김훈상(2003)은 주택개발사업을 위해 토지를 매입해야 하는 상황에서 비용 요인인 토지가격이 상승할 때 총 개발비용을 최소화하기 위해 적용해야 할 단계적 개발방식의 원리를 비용최소화 모형을 통해 이론화하였다. 개발사업을 간단히 현재 시점(t=0)과 미래 시점(t>0)의 두 단계에 걸쳐 각각 θ와 (1-θ)의 비율로 나누어 수행하는 경우(0<θ<1), 토지가격(V)이 매년 일정 비율(g)로 증가할 때 주택건설비(C)와 합친 총 개발비용의 현재가치(PV)를 최소화하는 미래 최적 개발시점(t^*)은 식 (2)와 같이 도출된다.

식 (2)에서 개발시점을 연기할 때 한계비용은 지가 상승으로 인해 추가적으로 부담해야 하는 토지비(gV_t*)이고, 한계수입은 1년 동안 부담하지 않아도 되는 토지매입비와 주택건설비의 금융비용(i(V_t*+C))이 된다. 따라서 이 모형에서도 지가가 상승한다는 가정(g>0)에 따라 토지비용이 일정 수준에 이를 때까지 개발시점을 연기할 수 있는 반면, 그 이후에는 추가적으로 부담해야 할 토지비용이 너무 커지지 않도록 개발에 착수해야 한다는 논리가 성립된다. 만약 지가가 하락한다면 미래 시점의 개발사업을 위한 토지매입 시점은 무기한 연기될 수 있다.

한편 비용 측면에서 토지가격과 수입 측면에서 주택가격의 상승을 동시에 고려한 김훈상(2010)의 이윤극대화 모형에서는 최적 개발시점이 기본적으로 토지매입비용과 주택분양수익 증가의 상쇄관계에 의해 결정된다. 식 (3)에서 토지가격(V)과 주택가격(P)이 각각 매년 일정 비율(g,r)로 증가할 때 개발시점 연기에 따른 한계비용은 지가 상승으로 인한 추가 토지비용(gV_t*)과 1년 동안 포기해야 하는 주택분양수익의 기회비용(iP_t*), 그리고 한계수입은 토지매입비와 주택건설비의 금융비용(i(V_t*)+C)과 주택가격 상승에 따른 추가 분양수익(rP_t*)으로 각각 구성된다.

이상과 같이 선행연구들은 토지가격과 건물분양가격의 지속적인 상승을 상정하고 순차적으로 수리모형을 발전시켜왔다. 그렇지만 이러한 모형에 따르면 토지가격이나 건물분양가격이 예상과 달리 하락하는 경우에는 개발사업이 무기한 연기될 수밖에 없는 상황이 발생하게 된다. 그런데 이러한 상황이 토지비축 개발방식의 경우는 물론이고 현실적으로 용산국제업무지구 개발사업의 경우에서와 같이 토지매입이 이루어지고 난 이후에 발생한다면 사업주체는 막대한 손실을 감수할 수밖에 없다. 그렇다고 단계적 개발방식에서와 같이 일정 기간 토지매입을 연기하는 것도 비현실적일 수 있는데, 매입을 미루는 동안 부동산개발시장의 다른 경쟁자가 토지를 선점할 수 있기 때문이다. 이에 따라 다음 장에서는 부동산 가격 하락을 비롯한 시장상황의 변화에 유연하게 대응하면서 사업 초기에 큰 비용을 투입하지 않고도 토지매입의 권리를 확보할 수 있는 옵션을 도입하여 기존의 부동산개발 모형을 발전시키도록 한다.

토지매입 옵션을 활용한 부동산개발은 이윤극대화 모형을 통해 이론화하는데, 토지매입 옵션 모형은 크게 두 가지 측면에서 기존 모형과 차이를 갖는다. 첫 번째는 토지가격이나 건물분양가격이 하락하는 경우를 포함하여 다양하게 변화할 수 있는 가능성을 열어둔다는 점이고, 두 번째는 이러한 가격 변화에 따라 토지매입 옵션을 행사하는 최적 개발시점이 옵션가격과 함께 결정된다는 점이다.

토지매입 옵션하에서 사업주체는 미래 지가 변화에 따른 비용 위험을 회피(hedge)하기 위해 현재 시점(t=0)에서 토지소유주와 협상을 통해 미래 시점에서 지불할 토지가격(행사가격, B)을 확정하고, 그에 상응하는 대가로 옵션가격(O_t)을 토지소유주에게 지급하여 토지매입의 권리를 획득한다.²⁾ 이에 따라 미래 최적 개발시점(t=t^*>0)에서는 약정된 옵션 행사가격에 토지를 매입하고 건설공사비(C)를 투입하여 개발사업을 실행에 옮김으로써 분양수익(P_t)을 회수하게 된다. 이에 따른 이윤극대화 문제는 식 (4)와 같은데, 토지비용을 현재 시점에서 옵션가격(O_t)과 미래 시점에서 행사가격(B)으로 나누어 부담하는 개념으로 이해할 수 있다.

여기에 가격 변화의 다양성을 반영하기 위해 Black and Scholes(1973)의 주가예측 원리인 기하 브라운 운동(geometrical Brownian motion)을 차용하면, 토지나 건물가격도 장기적으로는 단위 시간당 무위험 수익률만큼의 추세 변화를 가지면서 단기적으로 일정 범위의 변동성을 보인다고 가정할 수 있다. 이 때 무위험 수익률을 시장이자율로 설정하고 가격 변화의 분포를 대수 정규분포로 단순화하면, 식 (4)의 분양가격(P_t)은 식 (5)와 같이 매년 이자율(i)만큼 상승하되 일정 표준편차(σ)를 갖고 위너과정(Wiener process)의 불확실성을 포함하는 확률분포(ω_t)에 따라 추가 상승하거나 또는 하락하는 형태로 구체화할 수 있다. 즉, 분양가격 변화에는 일정 범위의 변동성을 고려한 이자율만큼의 상승의 추세효과(i-12σ2)와 매 시기 상승 또는 하락하는 무작위 변동효과(σω_t)가 존재하는데, 후자가 전자보다 더 크게 하락하면 분양가격도 하락할 수 있다.

그런데 이상의 과정에서 옵션계약을 체결하고 난 뒤에 대내‧외 개발환경의 악화로 사업 추진이 불가능해지면 옵션가격은 아무 대가없이 지불한 매몰비용(sunken cost)이 되어버리므로 옵션가격(O_t)의 결정은 매우 중요하다. 토지 매매시장이 완전경쟁시장으로 차익거래의 기회가 존재하지 않는다면(No Arbitrage Trading) 옵션가격은 현재와 미래 시점간 토지가격의 차익과 동일해야 하는데, 옵션가격이란 사업주체가 개발을 연기하는 동안 지가상승 위험을 해소하면서 고정된 가격에 토지를 매입할 수 있는 혜택에 대한 대가이기 때문이다. 그러므로 옵션가격이 존재하기 위해서는(O_t>0) 미래의 옵션 만기 시점에서는 토지가격이 행사가격보다 높아야 한다는 조건(V_t>B)이 추가되어야 한다.

이에 따라 토지가격의 상승과 하락 가능성을 고려할 때 옵션가격은 구체적으로 토지가격이 상승하여 행사가격보다 높아질 누적확률(N₁(d₁))과 하락하더라도 행사가격보다 높을 누적확률(N₂(d₂))에 따라 결정되며(1>N₁>N₂>0),³⁾ 이는 곧 옵션가격이 식 (6)과 같이 토지가격이 상승하거나 하락할 확률의 가중평균으로 정의될 수 있음을 의미한다. 그러므로 만약 토지가격이 상승하거나 하락할 누적확률이 동일하다면 옵션가격은 영(0)이 되므로 토지매입을 연기할 이유가 없어진다. 식 (6)은 토지수요가 주택 등 건물의 파생수요(derived demand)라는 점에서 수요의 동조화(coupling)를 상정하여 토지가격과 주택가격의 변동성(σ)을 동일하게 가정하고, Black and Scholes(1973) 모형을 활용하여 표준확률변수에 대한 누적확률을 구체화한 것이다.⁴⁾

이상 식 (4), (5), (6)으로 구성되는 이윤극대화 모형을 미래 개발시점에 대해 최적화하면 식 (7)와 같은 1계조건이 도출된다. 개발시점을 1년 연기함에 따른 한계비용은 그동안 포기해야 하는 분양수입의 기회비용(iP_t)이고, 한계수입은 그동안 집행을 미루는 토지비와 공사비의 금융소득(i(B+C))이다. 이에 비해 분양가격의 변화(δP_t, δ는 시간에 대한 미분)는 확률분포에 따라 그 방향이 상승이면 한계수입, 반대로 하락이면 한계비용이 된다.⁵⁾ 또한 옵션가격의 변화(δO_t)도 개발환경이 호전되어 토지가격이 상승할 확률이 커질 경우 추가 지불해야 하는 옵션가격(δN₁V₀), 반대로 개발환경 악화로 토지가격이 하락할 경우 감소하는 옵션가격(δN₂(d₂)B_te^-it)과 옵션가격의 기회비용(δN₂(d₂)e^-it)으로 구성되는데, 앞의 두 요소는 식 (7)에서와 같이 통합하여 축약할 수 있다.⁶⁾

따라서 최적 개발시점(t=t^*)의 균형상태에서 차익거래가 없다고 가정할 때, 시간이 흐르면서 지가가 상승할 누적확률이 커지면(δN₁(d₁)>0) 옵션가격은 상승하고(δO_t>0) 반대로 지가가 하락할 누적확률이 커지면(δN₂(d₂)>0) 옵션가격은 하락한다(δO_t<0). 나아가 개발시점을 연기하면 옵션을 행사할 시기가 더 많이 남게 되어 옵션의 시간가치가 증가하는 반면 개발시점이 앞당겨지면 행사할 시기가 줄어들어 시간가치도 감소하게 되는데, 이와 같이 옵션이 행사될 가능성에 대한 시간가치는 행사 확률(N₂(d₂))과 시간에 대한 기회비용(i)에 의해 결정된다. 그러므로 토지매입 옵션 계약을 체결한 뒤 개발환경에 변화가 없는 상황이라면(δN₁(d₁)=δN₂(d₂)=0), 옵션가격의 변화(δO_t)는 토지가격 하락에 따른 옵션가격의 시간가치(iN₂(d₂)B2^-it)로 근사할 수 있다.

한편 식 (7)을 시장이자율을 중심으로 재정리하면 최적화조건은 식(8)과 같이 이자율(i)과 최적 개발시점(t^*)에서 이윤(개발이익)의 변화율(δPV_t*/PV_t*)간 상쇄관계(trade-off)로 나타난다. 이는 결국 시간의 흐름에 따른 개발이익의 증가율이 이자율과 동일해질 때까지 개발시점을 연기하는 것이 최적화의 이론적 원리임을 의미한다.

마지막으로 식 (7)의 최적화 1계조건으로부터 최적 개발시점(t^*)은 식 (9)와 같이 도출된다. 최적 개발시점은 불확실성 변수(ω_t)를 포함하고 있어 확률분포에 따라 해석이 복잡해지므로, 편의상 평균값(ω_t=0)을 적용하여 단순화한 수식을 통해 핵심적인 의미 해석에 초점을 맞추도록 한다.

최적 개발시점은 기본적으로 공사비, 토지비, 옵션가격 변화를 포함하는 개발비용에 시장이자율을 적용한 금융소득(i(C+(1+N₂(d₂))B)과⁷⁾ 변동성에 의해 추가적으로 확보할 수 있으나 개발을 연기함으로써 포기해야 하는 분양수입(0.5σ²P₀)간 상쇄관계로 결정된다. 이 과정에서 미래 시점의 주택가격(P_t)이나 토지가격(V_t)은 개발시점에 영향을 주지 않는데, 향후, 발생할 주택과 토지가격의 변동성(σ)을 제외한 다른 변수들은 현재 시점에서 이미 확정되어 있거나 예측 가능한 범위에서 확인할 수 있기 때문이다.

식 (9)에서 건설공사비(C)는 지역에 따라 큰 차이가 없을 것으로 상정할 때, 지가상승의 기대 확률(1-N₂(d₂))이 높거나⁸⁾ 또는 토지비(B)에 비해 상대적으로 분양가격(P₀)이 낮아 개발잠재력이 충분히 현실화되어 있지 않은 지역일수록 토지매입 옵션을 활용하여 개발시점을 연기할 유인이 클 것으로 예상할 수 있다. 이에 반해 극단적인 경우가 될 수 있지만 지가상승의 기대 확률이 매우 낮거나 토지비에 비해 이미 분양가격이 충분히 높게 형성된 지역에서는 토지매입과 개발을 동시에 수행할 가능성도 있다(t^*→0).

그런데 식 (9)에서 토지매입 옵션을 활용하여 최적 개발시점을 도출할 수 있는지의 여부는 건물과 토지가격의 변동성(σ)에 의해 직접적으로 영향을 받는다는 점에 주목할 필요가 있다. 먼저 극단적인 경우로서 가격 변동성이 없는 경우(σ→0)에는 개발시점이 무기한 연기될 수 있는데(t^*→∞), 이는 지가와 건물분양가가 상승한다는 가정 하에서 일정 시기가 지난 후 개발비용의 금융소득과 일치하는 최적 개발시점을 도출했던 선행연구에서는 찾아볼 수 없었던 결과이다. 반면 가격 변동성이 너무 큰 경우, 또는 보다 구체적으로 분양가격 변화에 따른 수익률 분산의 50%가 시장이자율 보다 큰 경우(0.5σ²>i)에는 토지매입 옵션 없이 개발시점을 현재 시점으로 앞당기게 되어(t^*→0) 전면 개발방식과 차이가 없어지게 된다.

따라서 미래 일정 시점에서 옵션을 행사할 수 있는 최적 개발시점이 결정되기 위해서는(0<t^*<∞) 가격 변동성이 존재하면서도 그 크기가 이자율을 크게 상회하지 않는 일정 범위 내에 있어야 한다(0<0.5σ²<i). 이러한 경우 토지매입 옵션 계약을 체결한 이후 지가 또는 주택분양가가 상승하면 이익을 실현하고, 반대로 하락하면 사업 초기에 지불한 옵션비용으로 손실을 고정시키는 위험관리가 가능해진다. 결국 토지매입 옵션을 활용하여 개발사업을 수행할지 여부는 시장이자율과 분양가격 변화에 반영되어 있는 수익률 변동성의 상대적 크기에 의해 결정된다.⁹⁾

지금까지 이론적으로 도출한 토지매입 옵션 모형에 대해 실제 다양한 변수값을 적용하여 수치적(numeric)으로 최적 개발시점 등을 산출하는 모의실험(simulation)을 수행한다.¹⁰⁾ 이를 통해 과거 우리나라의 부동산가격 변동성 등에 기초할 때 사후적(a posteriori)이지만 토지매입 옵션부 부동산개발사업의 효과와 활용 가능성을 평가해 보도록 한다. 이에 따라 시계를 되돌려 모의실험의 대상기간을 2008년 글로벌 금융위기 직전인 2007년에서부터 이후 5년간(2007∼2011년)으로 설정하고,¹¹⁾ 2007년을 기준으로 당시 토지매입과 동시에 개발에 착수하는 전면 개발방식을 택하였을 경우와 토지매입 옵션을 활용하였을 경우를 비교하도록 한다.

모의실험은 여러 부동산유형 중 풍부한 시계열(time-series) 가격자료를 구할 수 있는 주택을 대상으로 한다. 이에 따라 식 (9)에서 확률변수인 분양가격의 변동성(σ)은 당시 우리나라 부동산가격 변화의 선도지표 역할을 했던 서울을 기준으로 민간부동산정보업체(부동산114)가 제공하는 2007∼2011년 연도별 분양아파트 가격 변화를 통해 산정한다. 동일한 기간기준을 적용하여 이 외 모든 변수값은 2007∼2011년 평균값을 기준으로 산정하는데, 시장이자율은(i)은 한국은행이 발표하는 3년 만기 국고채 금리, 건설공사비(C)는 국토교통부가 매년 고시하는 건축비¹²⁾를 적용한다. 그리고 분양가격(P₀)은 당시 다양한 부동산 개발사업이 추진되었던 수도권을 대상으로 부동산114가 제공하는 2007년 분양아파트 가격을 사용한다. 토지가격(V₀)은 LH공사가 2006∼2008년 수도권에 공급한 공동주택건설용지의 평균 분양가격과 조성원가에 기초하여 토지조성비와 분리하여 산정한다.¹³⁾ 이상의 모수(parameter)값은 모의시험 결과와 함께 표 1에 제시되어 있다.

표 1에 제시되어 있듯이 모의실험을 통해 산출한 식 (9)의 최적 개발시점(t^*)은 5.4년으로, 이는 곧 2007년 토지매입 옵션 계약을 체약한 후 5.4년이 경과한 시점에서 옵션을 행사하여 개발에 착수하는 것이 최적임을 의미한다. 이렇게 토지매입 옵션을 통해 개발시점을 조정하면 식 (4)에 의해 최대화되는 이윤(개발이익)은 2007년 현재가치 기준으로 m²당 273.4만원으로 산출된다.¹⁴⁾ 이에 비해 만약 2007년 당시 토지매입과 동시에 개발에 착수하였다면(t^*=0) 개발이익의 현재가치는 m²당 69.8만원으로 감소한다. 따라서 토지매입 옵션을 활용한 부동산개발방식이 토지매입과 개발을 일괄적으로 수행하는 전면 개발방식에 비해 약 4배 정도 높은 부가가치를 창출 수 있을 만큼 경제적으로 더 효과적임을 알 수 있다.

비교정태분석(comparative statics)의 관점에서 다른 모든 변수값이 일정할 때 특정 변수값의 증감에 따라 최적 개발시점이 변화하는 방향성은 식 (9)에서 쉽게 대수적(algebraic)으로 확인할 수 있는데, 토지비(V₀)와 건설공사비(C), 이자율(i)이 커질수록, 그리고 건물분양가격(P₀), 변동성(σ)이 낮아질수록 최적 개발시점은 늦추어진다. 그렇다면 여기서는 보다 구체적으로 민감도 분석(sensitivity analysis)을 통해 각 변수가 동일한 비율로 변화할 때 최적 개발시점이 변하는 상대적 크기를 수치화하여 비교해 보도록 한다.

표 1에는 앞서 모의실험에 투입되었던 가격 변동성과 시장이자율, 분양가격, 토지가격, 건설공사비가 각각 10% 증가 또는 감소할 때 최적 개발시점이 얼마만큼 늦추어지는지가 함께 제시되어 있다. 이에 따르면 가격 변동성에 대한 변화의 폭이 가장 크고, 다음으로 건설공사비, 시장이자율, 분양가격, 토지가격의 순서로 나타난다. 따라서 옵션 행사시점이 가격 변동성에 가장 민감하게 변화한다는 사실을 고려하면, 토지매입 옵션 관련 의사결정은 결국 사업주체가 미래 부동산가격 변동성을 어떻게 전망 또는 예측하느냐에 따라 가장 크게 영향을 받을 것임을 알 수 있다.

한편 보다 근본적으로 최적 개발시점이 존재하기 위해서는, 즉 토지매입 옵션 계약후 일정 기간내 옵션을 행사할 수 있기 위해서는(0<t^*<∞) 식 (9)에서 가격 변동성(σ²)의 50%가 시장이자율(i) 보다 작아야 한다는 조건을 충족해야 한다. 따라서 지역이나 토지특성의 차이에 따라 이러한 조건의 충족 여부가 달라지는지를 살펴봄으로써 토지매입 옵션부 부동산개발방식이 어느 정도 보편적으로 적용될 수 있는지를 알아보도록 한다.

지역은 행정구역을 기준으로 수도권, 광역시, 기타 지역으로 구분하여 KB은행의 아파트 매매가격지수를 적용하였고, 토지특성에 따라서는 주거, 상업, 공업, 녹지의 용도지역별로 한국감정원의 토지가격지수를 적용하여 각각 변동성을 산정하였다. 나아가 앞서 민감도 분석의 결과 가격 변동성이 최적 개발시점 결정에 가장 민감하게 영향을 주고 있음에 주목하여, 분석기간을 2007∼2011년뿐 아니라 2010∼2014년까지 확대하여 변동성을 보다 다양하게 산출하였다.

이렇게 산정한 변동성의 50%(0.5σ²)를 당해 기간의 평균 시장이자율과 비교한 결과는 표 2에 정리되어 있다. 대체적으로 어느 지역이나 용도지역에서도 0.5σ²이 이자율(i)보다 작아 최적 개발시점의 존재 조건은 충족되는 것으로 나타나, 토지매입 옵션부 부동산개발방식은 지역이나 토지특성의 차이에 크게 관계없이 보편적으로 적용될 수 있음을 확인할 수 있다. 다만 광역시에서 2010∼2014년 기간의 변동성을 적용한 경우에만 반대의 결과가 산출되어 이 경우에만 토지매입과 동시에 개발에 착수하는 전면 개발방식(t^*→0)을 택해야 하는 것으로 나타난다.

지역별로는 어떠한 기간의 변동성을 기준으로 하더라도 항상 수도권이 광역시와 기타 지역에 비해 가격 변동성이 상대적으로 작아 이자율과 변동성의 차이가 크게 나타나기 때문에 토지매입 옵션을 가장 장기적인 관점에서 보유하면서 개발시점을 조정해야 할 필요가 있는 지역으로 평가할 알 수 있다. 용도지역별로는 2007∼2011년과 2008∼2012년 변동성을 기준으로 하면 주거, 상업, 공업지역의 기성시가지에 비해 녹지지역이 가격 변동성이 상대적으로 작아 옵션 행사시점을 가장 늦추어야 하는 대상으로 나타나지만, 2009∼2013년과 2010∼2014년 변동성을 기준으로 하면 그 대상이 주거지역, 공업지역으로 각각 바뀌기 때문에 일반화된 결론을 도출하기는 어렵다.