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분석대상이 되는 구조물은 주택이나 업무용 건물 등을 지칭한다. 이들 구조물은 공통적으로 크게 개념화해 토지 및 자본재를 주요 투입요소로 한다. 본 연구에서 이 구조물산업을 편의상 주택산업이라고 부른다. 다핵심 도시에서 등장하게 되는 업무용 건물의 ‘생산’도 주택생산함수와 특성을 공유하기 때문에 아래에서 개발되는 이론을 그대로 활용할 수 있다.

토지 및 자본재 투입량을 각각 Q,X라고 하고, 주택생산량을 상면적 H(단위는 평방미터)로 표기하자. 용적률을 f라고 할 때, 용적률은 H/Q로 표현되고 용적률 상한을 f라고 하면 각 획지에 건설되는 주택의 개발밀도는 f≥H/Q, 즉 fQ≥H로 표현된다. 기존연구는 연속공간모형으로서 자본재의 투입량은 투입밀도(즉 단위 면적당 자본재 투입량)로 측정된다.

주택 생산함수를 H=H(Q,X)라고 하고 이 함수는 투입요소에 대해 일차 동형, 즉 규모에 대해 수확불변이라고 가정하자. 오일러 정리로부터

를 유도할 수 있다. 또한 주택시장은 완전경쟁적이라고 가정하자.

주택사업자는 다음 두 단계를 거쳐 이윤을 극대화한다.

1단계 용적률 상한(Q,X)과 주택생산량이 각각 f,H로 주어졌을 때, 주택 H평방미터를 생산하는 최소비용 조합 의 선택

2단계 주택판매수입과 주택생산비간 차이, 즉 이윤을 극대화하는 주택생산량 H의 선택

위 1단계 문제의 결과 도출되는 비용함수는 다음과 같이 정의된다.

편의상 자본재의 가격은 1로 표준화했다. 이 비용함수를 이용해 2단계의 이윤극대화 문제를 다음과 같이 정의할 수 있다.

이 식에서 p는 床面積의 평방미터당 임대가격을 말한다.

2단계 문제부터 풀면 아래 논의 과정에서 더 편리하다. 식(3)을 변수 H로 미분하자.

즉 한계비용이 한계수입 p와 같아질 때까지 생산량 H를 늘릴 때 H는 최적화 된다.

1단계 문제를 풀기 위해 다음과 같이 라그랑지안을 구성하자.

λ₁,λ₂≥ 0

포락선 정리를 이용해 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

용적률 상한이 구속적이지 않을 때, λ₁=0이고 이때 한계비용 ∂C/∂H=λ₁ > 0 이 된다. 따라서 식(6)에서 λ₁ + λ₂ ≥ 0 이 된다. 식(7)은 용적률 상한 f가 구속적일 때, 이 상한이 증가하면 이에 비례해 규제 준수비용은 줄어든다는 의미이다.

이제 식(8)을 이용해 쿤-터커의 조건을 구하자.

위 조건의 풀이는 용적률 상한이 구속적인 경우(즉 H - fQ = 0)와 구속적이지 않은 경우(즉 λ₂ = 0)인 경우로 나누어 구할 수 있다.

먼저 용적률 상한이 구속적이지 않은 경우부터 분석을 하자. 비구속적인 경우는 H ≤ fQ로서 주택사업자는 용적률 규제의 제한을 받지 않게 되는 경우이다. 이 경우 λ₂ = 0이므로, 식(8)로부터

를 유도할 수 있다. 그런데 식(6)에서 λ₂ = 0일 때 한계비용이 λ₁으로 주어지고, 한계비용은 식(4)로부터 상면적 1평방미터당 가격 p와 동일하므로 식(11)를 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

MRP_Q는 토지의 한계수입생산(marginal revenue product)으로서 토지의 한 단위 추가 투입으로 인해 발생하는 수입증가분을 말한다. 생산요소의 고용이 최적이라면 이 한계수입이 요소의 한계비용, 즉 한계요소비용(marginal factor cost, MFC)인 지대 r과 일치하게 될 때까지 생산요소의 투입을 늘려야 할 것이다.

한편 식(9)에서

이 식에서 MRP_X는 자본재의 한계수입생산을 말한다. 이 식 역시 최적 요소고용량을 보여주는 수식이다(자본재 한 단위의 가격은 좌변의 1).

이상에서 본 바와 같이 용적률 규제가 구속적이지 않은 경우 주택생산자의 비용극소화 문제와 이윤극대화 문제는 통상의 최적화문제와 하등 차이가 없다.

규제가 구속적인 경우, λ₂ ≥ 0이고 H = fQ가 성립한다. 식(8)을 다음과 같이 다시 쓰자.

따라서

식(12)의 좌변은 토지의 추가 투입에 따른 한계편익을 보여준다. 이 한계편익은 다시 두 가지로 구성된다. 첫째, 토지의 추가 투입으로 생산이 늘면 이로 인해 수입이 증가한다(즉 한계수입생산 MRP_Q로서 좌변 첫 번째 항). 둘째, 토지의 투입만큼 용적률이 낮아져 규제준수비용이 줄어든다(좌변 두 번째 항). 토지의 투입량으로 최적으로 선택되었을 때, 이 한계편익은 식(12) 우변의 한계비용과 일치한다. 첫째, 토지 투입량 증가분만큼 추가 임대료라는 비용이 발생한다(우변 첫 번째 항). 둘째, 토지 투입량 증가로 인해 산출량이 증가하면 이로 인해 용적률이 증가하고 이에 수반하어 규제 준수비용이 증가한다(우변 두 번째 항).

식(12)의 두 번째 항에 대해 자세히 알아보기 위해 H = Q^0.5X^0.5라고 해보자. H ≤ fQ에 H = Q^0.5X^0.5를 대입하고 정리하면 X ≤ f²Q라는 식을 얻을 수 있다. 그림 2에서 회색 영역이 선택 가능한 투입요소 조합들이다. 어떤 주어진 산출량 수준 H에서 생산비를 최소화하는 투입요소의 조합이 이 영역에 속하리라는 보장이 없다. f가 클수록 그림에서 직선은 원점을 중심으로 반시계 방향으로 회전하고, 이때 선택 가능한 회색 영역은 점점 커진다. 즉, f가 클수록 상한 규제의 의미는 점차 사라지게 된다.

Fig 1. 
Maximum FAR regulation and feasible input choices

규제가 구속적이라는 말은 최적 조합이 직선 X = f²Q과 등량선간 교차점에서 선택된다는 의미이다. 그런데 Q가 한 단위 증가하면 이에 따라 주어진 H수준에서 용적률이 함께 줄어든다(즉 선택가능 영역의 경계선에서 선택가능 영역 내부로 투입요소의 조합이 이동). 이때 용적률 상한의 규제를 준수해야 하는 비용은 줄게 된다. 이 비용절감분이 식(12) 우변의 두 번째 항이다.

이상의 논의를 종합하여 식(12)의 좌변을 한계요소비용으로, 우변을 생산요소의 투입량 변화에 따른 한계수입으로 해석할 수 있고, 이를 토대로 그림 2를 그릴 수 있다. 만약 상한 규제가 구속적이지 않았다면 토지의 최적 투입량은 Q₀로 주어졌을 것이다. 그러나 상한 규제가 구속적일 때 최적 투입량은 그림 2의 Q₁으로 주어진다. 다른 조건이 같다면 구속적인 경우가 그렇지 않은 경우보다 토지 투입량이 상대적으로 더 많다(즉 그림에서 Q₀ < Q₁).

Fig 2. 
Maximum FAR regulation and the increased land input

지금까지 개발한 이론을 공간모형과 결합함으로써 토지이용 규제를 공간경제학적으로 더 연구할 수 있게 된다. 본 논문의 이론을 유상균ㆍ이혁주(2011)가 개발한 토지이용-교통 모형의 분석방법론과 결합하자면, 일반균형하에서 내생적으로 취급되는 가격변수간 일반균형적 관계, 즉 미분방정식을 유도해야 한다. 이 수식은 유상균ㆍ이혁주(2011)가 제안한 방법론을 이용해 토지이용 규제를 분석하는데 있어 반드시 필요한 수식이다. 이제 지금까지 이뤄진 이론적 논의를 토대로 이 미분방정식을 유도하고, 이 미분방정식의 공간경제학적 시사에 대해 알아보자.

먼저 영이윤 조건의 성립여부를 확인하고자 한다. 생산함수가 콥-더글라스型인 경우는 그림 1을 통해 대체적인 성립여부를 확인할 수 있다. 용적률에 제한이 있는 경우, 최소비용 투입요소의 조합은 ‘직선’ X = f²Q 위 어떤 점에서 결정된다. 이 직선 위에서도 생산량은 규모에 대해 여전히 수확불변이고 따라서 영이윤 조건이 성립할 것이다.

이제 이를 정식으로 입증하자. 오일러 정리를 이용해 유도한 식(1)의 양변에 λ₁을 곱한 후 식(8)을 이용하면 다음과 같다.

따라서 이항 후 다음과 같이 정리할 수 있다.

즉 주택 생산비용 = 주택 판매수입으로 영이윤이 달성된다.

이제 가격변수간 성립할 미분방정식에 대해 알아보자. 지금까지 부분균형 환경에서 용적률 규제가 어떻게 주택시장을 왜곡시킬 수 있는지에 대해 알아보았다. 그러나 일반균형 환경 하에서는 규제의 비효율이 왜곡된 가격을 통해 반영되기 때문에, 가격변수들간 관계에 용적률 규제의 비용이 반영되는 수식을 유도해야 한다.

앞서 유도한 식(13)의 영이윤 조건을 전미분하자.

생산함수 H = H(Q,X) 역시 전미분하고 그 결과식의 양변에 λ₁을 곱하자.

이 식을 다시 정리하면 다음과 같다.

즉

이다.

결국 방금 유도한 식을 식(14)에 대입하고 정리하면 다음과 같은 수식을 유도할 수 있다.

이 식은 가격변수간 관계식이지만, 이 식에 한계 규제준수비용 λ₂과 정책변수인 용적률 f이 포함되어 있고 따라서 유상균․이혁주(2011)에서 사용하는 후생함수의 정책변수 f에 대한 변화율 수식은 식(15)를 이용해 조성될 것이고, 이때 이 변화율 수식은 용적률 부과가 야기하는 규제비용과 용적률의 함수로 표현된다. 일반균형 환경에서 우리가 원하는 바로 그 수식이다.

용적률 상한 규제가 없거나 구속적이지 않을 때 λ₂=0이므로 식(15)에서

로서 이혁주(2013)의 식(1)과 같이 가격변수만 포함한 미분방정식을 유도할 수 있다. 한편 규제가 구속적인 경우 λ₂ ≥ 0로서 식(16)과 달리 규제 준수의 한계비용을 측정하는 λ₂가 포함된 항 λ₂Qdf을 포함한다.

이 λ₂는 두 가지 서로 다른 이름으로 불릴 수 있다. 용적률이 상향조정되면 주택공급이 늘어 주택가격이 하락하게 될 것이다. 따라서 dp/df < 0라고 가정해보자. 규제 상한 f가 상향조정되면, 식(15)에서 df> 0의 승수인 λ₂Q만큼 f 상향조정의 효과가 나타난다. 즉 λ₂Q의 크기가 클수록 식(16) 좌변의 가격 하락효과 Hdp는 크게 나타난다.

반면 규제 상한을 더 낮추어 규제를 강화하는 경우 이로 인한 주택가격 상승효과는 승수 λ₂Q가 클수록 더욱 크게 나타난다(즉 ∣λ₂Qdf∣가 더 큼).

식(15)의 양변을 df로 나누면

이 된다.

좌변 =Hdpdf=pHffpdpdf ≡pHf ηp

이 식에서 η_p는 용적률에 대한 주택가격의 탄력성을 말한다.

우변 =Qdrdf- λ2Q

위 식에서 각종 탄력성의 의미는 명확하다.

따라서 좌우변에 f를 곱한 후 정리하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

이 식에서 pH은 주택판매 매출을, rQ는 토지비용을, λ₂H는 총 규제준수 비용을 나타낸다. 따라서 양변을 pH으로 나눈 후 새로운 기호 s_Q, s_compl를 이용해 다음과 같이 다시 표현할 수 있다.

식(17)에 따르면 토지의 투입비용이 주택생산비 총액 pH(영이윤조건하에서 주택임대 수입=주택 생산비용)에서 차지하는 비중이 클수록(즉 s_Q가 클수록) 용적률 규제의 완화로 인한 주택가격의 하락효과는 크게 나타난다. 그러나 s_compl와 주택가격 하락효과간 관계는 η_H - η_Q의 크기와 부호에 의해 좌우된다. 용적률 상향조정으로 주택생산의 증가속도가 토지 투입량의 증가속도보다 더 큰 경우, η_H - η_Q는 陽數가 되고 용적률 상향조정으로 인해 주택가격이 하락하는 효과가 더 크게 발생한다. 그리고 이러한 하락유발 효과는 s_compl가 클수록, 즉 규제 준수비용이 비중이 클수록 크게 나타난다.

용적률의 상한규제 분석에서 밟았던 절차를 똑같이 따라 분석을 한다. 용적률 하한을 f라고 하면 용적률 H/Q는 f이상, 즉 H≥ fQ이어야 한다. 1단계 비용극소화 문제는 다음과 같이 기술된다.

2단계 문제는 종전과 동일하게 식(3)으로 주어진다. 식(18)의 목적함수에 (-)를 붙여 극대화 문제를 바꾸면 라그랑지안을 다음과 같이 구성할 수 있다.

포락선 정리를 이용하자.

용적률 하한이 구속적이지 않을 때, λ₂ = 0이고 이때 한계비용 ∂C/∂H = λ₁ > 0이 된다. 그리고 용적률 하한 규제가 구속적인 경우, 이 하한을 상향조정하면 이에 따라 규제준수에 수반된 비용이 식(21)에 따라 용적률 한 단위 증가당 λ₂Q만큼 발생한다. 따라서 주택 생산량이 증가하게 되면 그만큼 규제에 구속받기 않기 때문에, 식(20)에 따라 한계비용 ∂C/∂H는 규제 회피를 통해 실현되는 비용절감분 λ₂만큼 줄어들게 된다.

식(19)의 라그랑지안을 이용해 1계 조건을 구하자.

토지의 추가 투입은 세 가지 효과를 유발한다. 토지의 추가 투입으로 직접적으로 토지 임대료의 추가비용이 발생하고(식(22) 우변 첫 번째 항), 용적률이 낮아지게 되면서 용적률 하한규제라는 준수비용(마지막 항)이 발생한다. 이들 두 항은 비용과 관련된 항들이다. 반면 토지의 투입증가로 인해 건물 용적이 증가하면서 규제준수 비용이 감소하게 된다(식(22) 두 번째 항). 요소의 최적 투입은 생산요소의 한계편익이 생산요소의 한계비용과 일치할 때 이루어진다.

식(22)를 다음과 같이 다시 쓰자.

위 해석에 기초해 그림 3을 그릴 수 있다.

Fig 3. 
Minimum FAR regulation and the decreased land input

규제의 하한이 비구속적인 경우 우하향 곡선은 한계수입생산이 되고 한계요소비용은 토지임대료만으로 구성된 r이 되어, 최적 선택은 Q₀로 주어진다. 그러나 규제가 구속적인 경우, 다른 조건이 동일하다면 규제 준수비용이 더해져 요소 투입량은 Q₁에서 결정된다. 즉 Q₁ < Q₀이 되어 하한규제의 정책목표가 달성되었다.

식(20)을 이용해 식(24)를 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

즉

이 성립한다.

토지 투입의 양을 한 단위 증가시키면 기업의 수입과 비용 측면에서 네 가지 서로 다른 효과가 발생한다. 우선 산출량의 증가로 인해 주택사업자의 수입이 증가하고(좌변 첫 번째 항), 규제 회피가 가능해면서 규제 회피라는 편익(좌변 두 번째 항)도 발생한다. 그러나 토지 투입량의 증가 그 자체는 요소비용의 추가지출을 의미하고(우변 첫 번째 항), 또한 용적률 하락으로 인해 규제 준수비용이 발생하기도 한다(우변 마지막 항).

그림 4는 식(25)를 그림으로 표현해 보여준다. 하한규제가 비구속적인 경우, λ₂ = 0로서 최적 투입량은 점B에서 결정된다. 그러나 용적률 하한규제가 구속적인 경우 그림 3에서 Q₁ < Q₁ < Q₀이므로 그림 4와 같이 점A는 점B의 왼쪽 위에 형성될 것이다. 따라서 만약 주택사업자가 최초에 점Q₀에서 이윤극대화를 실현했다고 하고 이 상태에서 하한규제가 구속적이라면, 그림에서 λ₂f > λ₂[∂ H/∂Q], 즉 f > ∂H/∂Q이라는 의미이다. 즉 토지의 추가투입 상면적이 증가(∂H/∂Q>0)하는데 그 크기가 하한 f보다 작다는 의미이다. 이때 하한규제는 규제준수비용을 발생시킨다.

Fig 4. 
Minimum FAR regulation

식(1)의 양변에 λ₁을 곱한 후 정리하자.

그런데 식(22)로부터 위 식 좌변 첫 번째 항이 r + λ₂f로 주어지므로, 위 식은

이고, 이를 다시 정리하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

즉 영이윤 조건은 계속 성립한다.

한편 가격변수간 미분방정식을 유도하기 위해 위의 영이윤 수식을 전미분하자.

생산함수 역시 전미분한 후 양변에 λ₁을 곱하고 식(22)-(23)을 이용해 다음과 같이 정리하자.

이 식을 이항한 후 다음과 같이 다시 정리할 수 있다.

이 식을 식(26)에 대입하고 정리하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

이 식은 부호만 약간 다를 뿐 식(15)와 기본 구조는 똑같다. 그러나 부호가 다르기 때문에 해석은 다르다.

식(27)을 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

= 地代 변화량

+ 높은 f로 인한 추가 규제 준수비용

따라서 하한 규제의 존재로 인해 규제의 강화(즉 f의 상향 조정)은 이와 연관된 사회적 비용의 지출을 수반한다. 일반균형모형을 이용해 토지이용규제의 비용을 측정하는 일은 곧 식(28) 우변 마지막 항의 크기를 측정하는 일이다.