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두 개의 구역으로 구성된 선형도시를 상상해보자(도시의 선형, 비선형 여부는 분석결과와 무관). 구역 1은 도심, 구역 2는 외곽구역으로서 모두 폭이 1, 길이는 각각 I(#), I(#)라고 한다(모수이거나 정책변수처럼 외생변수가 처음 출현할 때 변수명 뒤에 # 표시). 따라서 두 구역의 면적은 I_i, i=1,2로 표현된다. 구역 i∈{1,2}에서 영업하는 X재 생산기업은 토지 Q_i, 노동 M_i를 이용해 생산기술 X_i=f(Q_i,M_i)에 따라 생산한다고 한다. 이 생산함수는 투입요소에 대해 1차 동형이라고 가정하자. 이윤극대화 및 생산함수의 1차 동형을 이용해 다음과 같은 미분방정식을 도출할 수 있다.

이 식은 일반균형 환경에서 모형의 기본적인 변수로 역할을 하는 가격변수간 일반균형적 관계를 보여준다. 이 식은 뒤에 나오는 후생극대화 문제에서 이용된다.

이제 가구(家口)의 문제에 대해 알아보자. 구역 i에 살면서 구역 j로 출퇴근하는 어떤 가구를 가구 (i,j)라고 부르자. 이 가구 는 X재(복합재)를 x_ij만큼 자신의 거주구역인 i에서 구매해 소비한다. 편의상 구매통행은 없는 것으로 한다. 또한 각 가구는 토지 면적 q_ij와 여가시간 l_ij를 소비한다. 이들 세 가지 재화를 소비함으로써 얻는 효용은 효용함수 u_ij=u(x_ij,q_ij,l_ij,d¹_ij,d²_ij)로 측정된다. d¹_ij은 승용차를 이용해 출근한 일수(日數), d²_ij는 버스라는 대중교통수단을 이용해 출근하는 일수를 말한다. 이들 두 변수도 ‘소비’의 대상으로서 최적화의 대상이 된다.

교통수단 m∈{1,2}을 이용해 구역 i를 1회 통행하는데 소요되는 시간을 g^m_i≡ g^m_i(F_i,R_i), 혼잡통행료를 t_i(#, 정책변수), 구역 (i,j)간 통행시간을 g^m_ij, 혼잡통행료를 t_ij(#)라고 하자. 편의상 승용차는 혼잡한 도로를 달리지만, 대중교통수단은 혼잡이 없는 교통시설에서 운행한다고 가정한다. 승용차(m=1)가 구역 i를 통행하는데 걸리는 시간 g¹_i(F_i,R_i)는 통행량 F_i에 대해 증가함수, 도로용량 지표인 도로폭 R_i에 대해 감소함수이다. 편의상 도로가 ‘교통시설’을 대표하는 것으로 하고, 도로라는 교통시설의 유일한 투입요소는 당분간 도로면적 R_iI_i(=폭길이)라고 하자. 구역간 통행시간은 , g^m₁₁=g^m₁g₁,g^m₂₂=g^m₂=g^m₂₁=g^m₁+g^m₂으로 정의된다. t^ij도 동일한 방식으로 정의하자. 대중교통수단의 경우 교통혼잡을 유발하지 않으므로 혼잡통행료가 부과되지 않는다.

가구당 총가용시간이 단위 기간당 H(#), 노동외 소득을 단위 기간당 D원이라고 하자. 이제 가구 (i,j)의 소득 제약조건과 시간 제약조건을 다음과 같이 쓸 수 있다.

도시내 토지는 N(정책변수)명의 주민이 동일한 공유지분으로 소유한다. 노동외 소득은 지대수입과 혼잡통행료 환급금으로 구성된다.

식(4)에서 두 가지 점에 유의하자. 첫째, 본 연구에서 주민이 도시내 토지를 모두 소유하기 때문에 부재지주 모형과 달리 주거용 토지의 기회비용은 0으로 처리했다. 본 모형에서 도시 경제내 소득의 域外 流出은 없는 것으로 놓는 경우 이렇게 설정해야 한다. 따라서 논문의 서두에서 말한 차액지대는 식(4) 괄호 안 첫 번째 항과 총액지대로 표현된다. 다만 도시의 반경을 가변적으로 취급하는 경우는 도시개발비용을 별도로 고려해야 한다. 이 문제는 부분균형 환경이기는 하지만 Rhee(2014)가 이미 다룬바 있다. 부재지주 모형의 경우 지대수입에서 별도의 토지 기회비용을 공제해야 하는데, 그 방법론은 이혁주(2014)에 있다. 어느 경우이든 도시면적이 고정되어 있는 한 동일한 분석결과를 얻는다.

둘째, 지대수입은 균등하게 배분되어 가구의 노동외 소득으로 귀속되고, 혼잡통행료과 같은 요금 수입 역시 각 가구에게 동일액씩 환급되는 것으로 노동외 소득이 설계되었다. 정부부문 혹은 교통부문만을 따로 떼어낸 후 별도의 행재정단위로 독립시켜 분석을 진행하는 것도 가능하지만, 이러한 분석적 조치는 논의만 복잡하게 할 뿐 현 연구목적상 불필요하다. 따라서 식(4)와 같이 공공재정을 표현하고자 한다.

이상의 논의를 토대로 가구 (i,j)의 효용극대화문제를 다음과 같이 쓸 수 있다.

여기서 ε_ij(#)는 검불분포(Gumbel distribution)에 따르는 연속확률변수이다. 각 가구는 자신의 후생을 극대화하면서 노동외 소득, ‘교통시장’, 통행료 등은 주어진 값으로 간주하고 극대화한다.

위 극대화 문제에 이용되는 라그랑지안은

와 같다. 이 식에서 c^m_ij,c^T_ij는 각각 소득 및 시간의 한계효용을 말한다. 효용극대화 문제를 푼 후, 간접효용함수 V_ij를 구할 수 있다. 검불분포를 이용해 특정 가구가 구역짝 (i,j)를 최선의 주거-직장짝으로 선택할 확률 P_ij를 이 간접효용함수를 이용해 표현할 수 있다. 그리고 시스템의 전반적 후생수준 W를 최대효용의 기대치인

로 정의하자. 여기서 λ(#)는 확률변수 ε_ij의 분산과 밀접하게 관련된 검불 확률분포의 母數이다.

이제 시장균형 조건을 나열하면 다음과 같다.

여기에 기업의 영이윤 방정식 2개를 더해 모두 8개의 방정식이 존재한다. 두 개의 구역이 있다고 했으므로 편의상 각 구역의 소비가능량에서 절반씩 제하는 방식으로 고정비용의 자원비용을 균형조건에 반영했다.

식(9)는 문헌에서 재화의 수지균형 조건(material balance condition) 혹은 교역 균형조건(balance of trade)으로 불리는 조건에 대응하는 균형식이다. 이 고정비용만큼 역외로 소득이 유출된다고 보면, 교역 균형조건으로 해석하는 것도 가능하다. 이 경우 고정비용의 자원비용을 생산물시장에 반영한 것이 된다.

미지수는 {r_i,p_i,w_i}²_i=1가격변수 6개와, X재 생산량 X₁,X₂ 2개 등 모두 8개이다. 이들 8개 변수를 앞으로 ‘기본변수’라고 부르자. 방정식의 수가 기본변수의 수와 똑같으므로, 기본변수를 위 시장균형 조건을 이용해 유도할 수 있다. 여타 내생변수는 모두 이들 변수의 함수로 주어진다.

그런데 효용극대화 문제로부터 가구 (i,j)의 간접효용함수 V_ij를, (1)기본변수 8개 가운데 r₁,r₂,p_i,w_j 등 4개의 미지수와 (2)내생변수인 교통량 F₁,F₂ 및 (3)정책변수인 통행료와 도로용량의 함수로 표현할 수 있음을 알 수 있다. 따라서 간접효용함수 V_ij를

와 같이 정책변수와 교통량 변수는 생략하고 기본변수만 이용해 쓰자. 다만 또 다른 내생변수인 F₁,F₂는 생략했다. 교통량 변수 역시 앞서 본 8개 기본변수 및 정책변수의 함수이다. 그런데 기본변수는 다시 정책변수의 함수이기 때문에 F₁,F₂는 궁극적으로 정책변수의 함수로 간단히 표현할 수 있다. 이 점에 유의하면서 이하 식(10)을 활용하도록 한다.

후생함수 W의 정책변수에 대한 변화율을 차례대로 구하자. 정책변수 N,Z,t₁,t₂,R₁,R₂에 따라 특정 균형이 달성되고 이 균형상태에 대응하는 기본변수의 값이 결정된다. 그리고 이 기본변수의 값에 따라 후생함수 W의 값이 결정된다. 따라서 W를 W(N,t₁,t₂,R₁,R₂)라고 쓸 수 있고, 계획가의 문제는 다음과 같다.

그런데 혼잡통행료에 대한 후생함수의 변화율은 유상균·이혁주(2011), 이혁주(2013) 등 이전 연구에서 여러 차례 반복·유도했으므로, 나머지 정책변수 N(인구규모), R₁R₂(도로폭), Z(고정비용) 등에 대해서만 유도하기로 한다.

3) 최적 정책조합과 헨리 조지의 정리

혼잡통행료에 대한 후생함수의 변화율은

이다. 따라서 최적 정책조합은 식(20),(25),(26)을 동시에 0으로 만드는 {t_k,R_k}²_k=1,N,Z로 주어진다. 즉 혼잡통행료는 표준적인 피구조세의 크기로 주어지고, 도로폭은 확폭의 한계비용이 확폭에 따른 혼잡완화효과와 일치하는 수준으로 주어진다(일명 사뮤엘슨의 법칙).

최적 인구규모 N*와 최적 고정비용 Z*는 추가적인 논의가 필요하다.

경우 1:Z=a,a<0

고정비용이 양의 상수 a로 주어진다고 하자. 식(20)의 두 번째 줄의 수식이 최적 정책조합하에서 0이 된다는 사실을 이용해 다음과 같이 논할 수 있다.

따라서 이 식을 0으로 하는 인구규모가 최적의 인구규모로서, 최적 인구규모가 선택되었을 때 위 수식에서 차액지대는 대중교통수단 운영에 필요한 고정비용 Z와 일치한다. 즉 차액지대를 이용해 순수공공재 공급에 필요한 재원을 정확하게 충당할 수 있다. 기존 문헌에서 말하는 헨리 조지의 정리가 바로 이 수식이다.

이 헨리조지 정리와 관련해 몇 가지 내용을 부연하면 다음과 같다.

첫째, 헨리조지의 정리가 성립하기 위해서는 도시경제내에 존재하는 외부효과(본 논문의 경우 교통혼잡)는 교정되어야 하고, 이러한 전제하에 헨리조지의 정리가 성립한다.

둘째, 부재지주 모형의 경우 이 차액지대는 개발이익에 해당된다. 즉 도시가 최적 규모로 개발되었을 때 개발이익은 공공재 공급에 필요한 고정비용과 정확히 일치하고, 개발에 따른 개발이윤은 0이 된다.

경우 2: Z=a+bN,a,b<0인 경우

인구 증가에 따라 가 증가하는 경우로서, 경우 1은 b=0인 특수 사례이다. Z=a+bN일 때 식(19)를 다시 유도하면 다음과 같다.

가 성립한다. 다시 말해 추가되는 인구마다 한계비용인 b를 징수하고 여기에 차액지대를 합한 금액이 고정비용 Z와 일치할 때까지 인구 규모 N을 확대하면 된다.

그런데 식(28)의 좌변에 Z=a+bN을 대입하고 식(28)을 다시 정리하면 차액지대는 a와 일치한다. 부재지주 모형의 경우 개발이익인 차액지대가 공공재 공급에 필요한 고정비용 a와 일치한다. 따라서 경우 2는 본질적으로 경우 1과 차이가 없다.

Fig. 1. 
Case 3

경우 3: 일반적인 경우

버스의 공급비용 함수가 그림 1과 같이 생겼고, 점A가 최적점이라고 하자.

즉 차액지대는 선분 BC의 길이와 일치한다. 이 경우 역시 경우 1, 2와 같이 주민에게 거두어들이는 인구혼잡세(=dZ/dN)와 차액지대의 합이 공공서비스 공급에 필요한 비용 Z(N)과 일치한다.

Fig. 2. 
Suboptimal case

이 경우 식(20)은 표준적인 처방하에서 0이 되지 않는다. 즉 최적해가 존재하는 인구규모는 그림의 원점을 통과하는 직선을 Z(N)곡선에 접하게 그렸을 때, 접점 왼쪽 아래에서 최적점이 주어질 때만 식(20)의 마지막 항이 0이 될 수 있다. 그림 2의 경우 인구규모가 지나치게 크다.