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주택가격과 해당 주택의 구성요소는 일반적으로 선형관계가 있다고 간주하는데, 선형관계에 기반한 헤도닉가격모형은 수식 (8)을 바탕으로 다음과 같이 표현할 수 있다(Rosen, 1974).

(9)

where,
P= Housing price
α= Regression intercept
β_i= Regression coefficients
x_i= Independent variables, such as housing structures, neighborhood environments and other characteristics
ϵ= Error term
λ= Transformation parameter (dependent variable)
θ= Transformation parameter (independent variable)

여기서 종속변수와 독립변수의 변환모수(λ,θ)는 각각 아래 수식 (10) 및 수식 (11)과 같은 조건을 가지게 된다(Halvorsen and Pollakowski, 1981).

(10)

(11)

이때 선형헤도닉가격모형은 변환계수를 λ=θ=1로 제약하게 되므로 종속변수와 독립변수는 자체 값을 그대로 가지게 되며, 다음과 같은 함수로 간략히 표현할 수 있다.

(12)

위 수식을 바탕으로 수식 (13)과 같이 선형모형의 내재가치(∂P/∂x_i)를 도출할 수 있다. 여기서 내재가치란 주택을 구성하는 개별요소에 대한 수요자의 지불의사 금액이라고 할 수 있으며, 시장에서 거래되는 시장가격이 아닌 잠재된 지불가능 금액이라는 점에서 암묵가격 또는 잠재가격으로도 불린다(Can, 1990; 정금호, 2003). 이는 독립변수 1단위 변화(증가)에 따른 종속변수의 가격변화를 의미한다.

(13)

선형모형은 해석이 편리하며, 사용하기 쉽다는 장점이 있으나 종속변수와 독립변수가 선형관계에 있다고 간주하기 때문에 복합적이고 다차원적인 사회현상에 부합하는 모형인지에 대한 논란이 있다(이용만, 2008). 따라서 이에 대한 대안으로 종속변수의 변환모수(λ)를 0으로 제약하는 준로그(semi-log) 또는 λ와 θ를 모두 0으로 제약하는 이중로그(double-log) 변환을 통해 비선형에 가까운 사회현상을 선형관계로 해석하게 된다.

준로그모형은 수식 (9)를 바탕으로 수식 (10)과 수식 (11)을 적용해 수식 (14)와 같이 도출할 수 있으며, 회귀계수(β)는 독립변수 1단위 변화에 따른 가격변화율(%)로 해석된다. 이중로그모형 역시 같은 방법을 적용해 수식 (15)와 같이 도출할 수 있으며, 회귀계수는 독립변수에 대한 가격의 탄력성이 된다. 단 더미변수의 경우 로그를 취할 수 없기 때문에 0과 1로 정의하는 대신 1과 2로 정의한 후 로그를 취해주거나 로그변환에서 제외하는 방법을 사용하게 된다. 이때 더미변수의 회귀계수는 탄력성을 의미하지 않는다(이용만, 2008).

(14)

(15)

선형모형의 내재가치 도출과정을 준로그모형에 적용해 내재가치를 구하면 수식 (16)과 같이 도출되는데, 해석은 선형모형의 내재가치와 동일하게 독립변수 1단위 변화에 따른 종속변수의 가격변화가 된다. 이때 P-는 평균주택가격을 의미한다. 단 독립변수가 더미형태를 가지는 경우 내재가치는 수식 (17)과 같은 방법을 통해 구하게 된다(Halvorsen and Palmquist, 1980; Seo and von Rabenau, 2011).

(16)

(17)

이중로그모형의 내재가치 역시 준로그모형과 같은 방법을 통해 구하게 되며, 해석은 선형 및 준로그모형과 동일하다. 여기서 X-i는 각 독립변수의 평균을 의미한다.

(18)

단 더미변수의 경우 로그를 취할 수 없어 로그변환에서는 제외되며, 이 경우 준로그모형의 더미형태와 같아지게 되므로 수식 (17)과 같은 방법에 따라 내재가치를 구할 수 있다.

변환모수를 제한하는 제약헤도닉모형은 해석이 편리하지만, 추정결과에 대한 오차는 여전히 존재하게 된다(Goodman, 1978). 이러한 단점을 해결하기 위해 변환모수 값을 제한하지 않는 비제약모형인 박스콕스(box-cox)모형이 제안되는데, 박스콕스를 사용할 경우 0과 1로 값을 제한하는 제약헤도닉모형에 비해 비교적 정확한 추정결과를 확보할 수 있다(Box and Cox, 1964; Cropper et al., 1988; Freeman, 2003).

박스콕스는 일반적으로 종속변수에만 비제약 변환모수를 적용하거나 양변에 비제약 변환모수를 적용하는 선형박스콕스(linear box-cox)와 2차함수 형태를 사용하는 이차박스콕스(quadratic box-cox)¹⁾로 구분된다. 일반적으로 가장 유연성이 높은 이차박스콕스를 사용하는 것이 모형적합도 측면에서 합리적인 것으로 보이지만, 회귀분석의 변수누락 문제가 존재하는 한 선형박스콕스가 더 나은 모형적합도를 보이는 것으로 알려져 있다(Cropper et al., 1988). 이와 더불어 독립변수의 구조, 사용방법 및 해석의 복잡성 등도 선형박스콕스가 더 광범위하게 사용되는 근거가 되고 있다(Palmquist, 1991; Chen et al., 2002; Freeman, 2003; Fulcher, 2003).

이러한 측면에서 본 연구는 종속변수에만 비제약 변환모수를 사용하는 선형박스콕스모형과 종속변수와 독립변수 모두 비제약 변환계수를 적용함으로써 높은 유연성을 확보할 수 있는 이중선형박스콕스모형을 중심으로 비제약모형을 설명하고자 한다.

종속변수에만 제약되지 않는 변환계수를 적용하는 선형박스콕스모형은 아래와 같이 표현된다(Chen et al., 2002). 이때 θ값은 1로 고정되기 때문에 비제약헤도닉모형의 제약함수형태로 불린다(Sakia, 1992; Bender et al., 1980).

(19)

λ는 일반적으로 -2에서 +2 사이의 범위에서 다음과 같은 MLE(maximum loglikelihood estimation(M))값을 만족하는 모수를 가지게 된다(Emerson and Stoto, 1983; Swanson et al., 2000; 서원석, 2010).

(20)

이때 n은 관측치의 수를, y_i는 i에 대한 변환된 관측치 값을, y-는 변환된 관측치의 평균값을, x_i는 원래의 관측치 i값을 의미한다.

선형박스콕스모형의 내재가치는 Jordan et al.(1985) 및 Blackley et al.(1984)의 이중선형박스콕스모형 내재가치 도출과정을 바탕으로 아래 수식 (21)과 같이 구할 수 있으며, 해석은 제약헤도닉모형의 내재가치 해석방법과 동일하다.

(21)

반면 Lutzenhiser and Netusil(2001) 및 서원석(2010)은 다음과 같은 방법을 이용해 선형박스콕스모형의 내재가치를 도출한 바 있다.

(22)

다음으로 종속변수와 독립변수 모두 비제약 변환모수를 적용해 유연성을 높인 이중선형박스콕스는 수식 (23)과 같이 나타낼 수 있으며, λ≠θ≠0 또는 λ=θ≠0의 전제조건을 가진다(Bender et al., 1980; Jordan et al., 1985; Sakia, 1992; Lansford and Jones, 1995a, 1995b).

(23)

여기서 γ_j는 회귀계수를, Z_j는 더미변수를 의미하며, 변환모수 λ와 θ는 MLE(M) 최대화를 위한 파라미터 값이라고 할 수 있다. MLE는 다음 수식 (24)와 같이 표현할 수 있다. 여기서 σ²는 오차분산추정치(error variance estimate)를, ´은 치환(transposition)값을 의미한다(Lansford and Jones, 1995a).

(24)

이중선형박스콕스모형의 내재가치는 다음과 같이 구할 수 있으며(Spitzer, 1984; Jordan et al., 1985), 해석은 앞선 모형들의 내재가치 해석방법과 같다.

(25)

한편 Lansford and Jones(1995a, 1995b)는 이중선형박스콕스모형 내재가치를 수식 (26)의 방법을 이용해 도출한 바 있다.

(26)

본 연구는 제약 및 비제약 헤도닉가격모형 함수별 내재가치 비교를 위해 2017년 실제로 매매된 서울지역 아파트실거래 자료를 이용해 실증분석을 수행하였다. 이를 위해 기존 선행연구에서 확인된 바와 같이, 헤도닉모형에서 변수의 누락문제가 존재할 때 종속변수와 독립변수에 각각 비제약 변환모수를 적용함으로써 가장 높은 모형유연성을 확보할 수 있는 이중선형박스콕스를 기준으로 기타 함수를 비교·검토하였다. 이를 통해 직접적인 모형적합도 비교가 어려운 제약 및 비제약 헤도닉가격모형을 간접적으로 비교함으로써 모형적용에 대한 이해를 제고할 수 있을 것으로 판단된다.

다만 본 연구의 분석결과가 함수별 모형적합성을 설명하는 절대적인 기준으로 활용되기보다는 추정치의 편차를 확인하는 데 목적을 두고 있음을 밝힌다.

제약 및 비제약 헤도닉가격모형의 내재가치 추정 및 비교에 사용한 아파트실거래 자료는 총 2만 9,091건이었으며, 동일한 조건하에 분석된 결과를 통해 변환함수별로 도출된 주택속성의 잠재가치를 상호비교하였다.

실증분석에는 아파트구조(apartment structure), 단지특성(complex characteristics), 근린접근성(accessibility), 입지특성(location characteristics)에 포함되는 14개 변수를 사용하였다. 모든 변수는 VIF(variance inflation factor)값이 최대 3.5를 넘지 않아 다중공선성(multicollinearity)으로 인한 과대추정 문제는 없는 것으로 나타났다.

종속변수로 사용된 실거래가격은 평균 6억 원이었으며, 최솟값은 1억 원, 최댓값은 33억5000만 원이었다(<표 1> 참조).

독립변수는 먼저 아파트구조에는 전용면적(AREA), 거래층수(FLOOR), 방 개수(ROOM), 건축연한(YEAR), 총세대수(HHOLD), 현관구조(ENT), 난방방식(HEAT)이 포함되었다. 평균 전용면적은 76.3m²이었으며, 거래층수는 평균 9층으로 나타났다. 방 개수는 일반적인 수준인 평균 3개였으며, 건축연한은 18.3년이었다. 단지규모를 나타내는 총세대수는 9세대에서 5,540세대까지 다양하였으며, 평균은 1,101세대로 파악되었다. 현관구조는 계단식이 대부분(66%)를 차지하고 있었으며, 난방방식은 개별난방이 기타 방식(지역난방, 중앙난방)보다 좀 더 많은 것으로 나타났다.

근린접근성에는 가까운 전철역까지의 거리(METRO), 가까운 공원까지의 거리(PARK), 가까운 초중고등학교까지의 거리(ELEMENT, MID, HIGH)가 사용되었는데, 각각 평균 548m, 1,012m, 313m, 432m, 681m로 파악되었다.

마지막으로 입지특성에는 공공주택 인접성(PUBLIC)과 서울 강남지역 아파트시장의 특수성을 고려해 강남3구 입지여부(GANG)를 포함하였다.

함수별 내재가치를 분석한 결과 전체적인 모형적합도는 R² 기준 .731에서 .762로 대체로 본 연구에서 사용한 독립변수가 종속변수인 아파트가격을 잘 설명하고 있는 것으로 나타났다. 다만 기본함수형태인 선형모형의 경우 유일하게 일부 변수에서(예, ROOM) 통계적인 유의성(10% 유의수준 기준)이 확인되지 않았다(<표 2> 참조).

분석결과를 살펴보면, 먼저 비교의 기준으로 삼았던 이중선형박스콕스모형은 λ가 .148, θ가 .335로 비선형의 원형을 가지는 것으로 나타났다. 로그우도비는 -307817.43으로 종속변수에만 변환모수 값을 비제약한 선형박스콕스(log likelihood= -308894.38)에 비해 모형적합도가 높은 것으로 확인되었다. 수정된 회귀계수 값 역시 .762로 가장 높은 값을 가져 기존 선행연구 결과를 뒷받침하는 결론을 도출하였다.

이를 중심으로 기타 모형을 비교·검토해보면, 제약헤도닉모형은 이중로그모형(λ=0, θ=0)의 수정된회귀계수(Adj-R²) 값이 .750으로 가장 높아 선형모형(λ=1, θ=1)이나 준로그모형(λ=0, θ=1)에 비해 모형적합도가 높은 것으로 나타났다. 내재가치에 있어서도 제약모형 중 개별변수 값의 변동성이 상대적으로 작게 나타나 추정결과의 중위성이 비교적 높다는 점을 확인하였다.

다만 준로그모형 역시 모형적합도 및 개별변수의 변동성 측면에서 이중로그모형과 큰 차이를 보이지 않았는데, 이는 더미형 독립변수가 많이 포함된 자료를 사용하는 경우 준로그모형이 적합하다는 기존 선행연구의 주장(Linneman, 1980; Cassel and Mendelsohn, 1985; Seo and von Rabenau, 2011)도 타당하다는 것을 뒷받침하는 결과라고 할 수 있다. 그러나 일부 변수에서 유일하게 통계적 유의성이 나타나지 않은 선형함수의 경우 적합도 측면에서 가장 낮은 모형임을 확인하였다.

이에 비해 박스콕스모형은 전체적으로 가장 안정된 결과를 보여주고 있는 것으로 확인되었다. 특히 이중선형박스콕스모형은 R²와 MLE에서 가장 높은 모형적합도를 보여주었을 뿐만 아니라 개별변수 내재가치 값에 있어서도 변수 간 변동성이 가장 낮게 나타났다. 이는 이중선형박스콕스모형이 가장 적절하다는 기존 선행연구의 주장(Cropper et al., 1988)이 우리나라 주택시장의 가치를 분석하는 데도 무리 없이 적용될 수 있음을 보여주는 결과라고 할 수 있다(<표 3> 참조).

다만 회귀계수 값의 해석이 비교적 명확한 제약헤도닉모형과는 달리 비제약헤도닉모형은 변환모수가 0 또는 1에 가깝지 않은 이상 내재가격 또는 탄력도를 이용해 결과를 해석해야 한다는 점에서 반드시 박스콕스를 사용해야 하는지에 대한 고민은 필요할 것으로 보인다. 실제로 기존 박스콕스의 모형적합도가 가장 높다는 기존 연구결과에도 불구하고 변환계수가 1 또는 0에 가까울 경우 제약모형과 큰 차이가 없다는 점(민웅기, 2006; 서원석, 2010), 제약모형 추정계수가 가진 직관적 해석가능성, 더미형태의 변수가 포함될 경우 준로그모형의 적합도가 상대적으로 높다는 점 등을 이유로 제약모형이 많이 사용되고 있다.